La palabra continuo puede funcionar como adjetivo o como sustantivo, de acuerdo con el contexto de uso.
Como adjetivo no presenta complicaciones, ya que se aplica la regla de tildación: con-ti-nuo /con- ti-nua (grave terminada en vocal: sin tilde).
Como sustantivo, significa ‘sucesión o serie compuesta de partes entre las que no hay separación’. Es una hispanización del término latino contínuum, que sí lleva tilde por ser esdrújula. Puede que esto provoque alguna confusión y que a veces la gente dude acerca de si continuo en español deba tildarse.
Obviamente, cuando hablamos del verbo conjugado en presente de la primera persona singular, la palabra sí lleva tilde sobre la vocal u, ya que la pronunciación provoca un hiato: «yo con-ti-nú-o enferma».