¿Dar abasto o dar a basto?

Hace unos días alguien me preguntó cómo se escribía la palabra abasto. En el momento, no entendía cuál podía ser la duda. Me resultaba obvia su escritura. Por supuesto que sé que la b y la v se prestan a confusiones, pero teniendo en nuestra ciudad un barrio llamado así y también un centro comercial importante, se me había naturalizado la palabra. Sin embargo, cuando me explicaron el por qué de la inquietud, yo entré también en una especie de nebulosa. Volvieron a preguntarme: ¿se dice dar abasto, dar a basto o dar a vasto? En verdad, lo que provocaba la cuestión era el uso del término en la expresión con el verbo dar.

La vacilación se abre, además, porque que existe la palabra vasto.

vasto, ta. (Del lat. vastus).
1. adj. Dilatado, muy extendido o muy grande.

Y también existe basto, con dos orígenes diferentes: uno que proviene del latín vulgar bastum (palo) y otro que se deriva del verbo bastar, y que significa ‘grosero, tosco’ o que también supone aquello ‘que está abastecido’.

Sin embargo, dar abasto no se construye con ninguna de las dos formas anteriores, ya que la locución se compone de dos partes: por un lado, el verbo dar y por el otro, el sustantivo abasto, que significa ‘provisión de cosas necesarias, especialmente de víveres’.

En resumen, la expresión se escribe dar abasto y quiere decir ‘bastar o rendir lo suficiente’ y, en general, se utiliza en oraciones negativas:
«No doy abasto con las tareas de la oficina».